ریاضی یازدهم صفحه 134 - تمرین 3
3 با استفاده از نمودار تابع $f(x) = [x]$ حدهای زیر را در صورت وجود بیابید.
الف) $\lim_{x \to 2^+} [x]$
ب) $\lim_{x \to 2^-} [x]$
پ) $\lim_{x \to 2} [x]$
ت) $\lim_{x \to 1} [x]$
ث) $\lim_{x \to 1/5} [x]$
ج) $\lim_{x \to -\sqrt{2}} [x]$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 134 - تمرین 3
در این تمرین، هدف یادگیری محاسبه **حد توابع پلهای (جزء صحیح)** با استفاده از نمودار است.
ویژگی اصلی تابع جزء صحیح این است که در نقاط صحیح، دچار پرش میشود و حد چپ و راست آن متفاوت است.
]
**حل گامبهگام:**
**الف) $\lim_{x \to 2^+} [x]$:**
وقتی از سمت راست به عدد 2 نزدیک میشویم ($x$ های کمی بزرگتر از 2)، مقدار تابع برابر **2** است.
**ب) $\lim_{x \to 2^-} [x]$:**
وقتی از سمت چپ به عدد 2 نزدیک میشویم ($x$ های بین 1 و 2)، مقدار جزء صحیح برابر **1** است.
**پ) $\lim_{x \to 2} [x]$:**
چون حد چپ (1) و حد راست (2) با هم برابر نیستند، این حد **وجود ندارد**.
**ت) $\lim_{x \to 1} [x]$:**
مشابه عدد 2، در نقطه 1 نیز حد راست برابر 1 و حد چپ برابر 0 است.
بنابراین این حد نیز **وجود ندارد**.
**ث) $\lim_{x \to 1.5} [x]$:**
عدد 1.5 یک عدد صحیح نیست. نمودار در اطراف این نقطه پیوسته و روی مقدار 1 ثابت است.
بنابراین حد چپ و راست هر دو برابر **1** هستند.
**ج) $\lim_{x \to -\sqrt{2}} [x]$:**
مقدار $-\sqrt{2}$ تقریباً برابر $-1.41$ است.
این عدد بین $-2$ و $-1$ قرار دارد.
در این بازه، مقدار تابع جزء صحیح همواره برابر **$-2$** است.
پس حاصل حد برابر **$-2$** میباشد.
**جمعبندی آموزشی:**
تابع جزء صحیح فقط در نقاط صحیح حد ندارد، اما در تمام نقاط غیرصحیح دارای حد است.
ریاضی یازدهم صفحه 134 - تمرین 4
4 حدهای زیر را در صورت وجود به دست آورید.
الف) $\lim_{x \to 2} \frac{[x]}{x}$
ب) $\lim_{x \to 1^+} \frac{[x] - 3}{x}$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 134 - تمرین 4
این تمرین ترکیب تابع جزء صحیح با توابع گویا را بررسی میکند که نیازمند دقت در تحلیل حد از دو طرف است.
**الف) $\lim_{x \to 2} \frac{[x]}{x}$:**
چون صورت کسر دارای جزء صحیح در یک نقطه صحیح است، باید حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنیم.
**حد راست:**
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{[x]}{x} = \frac{2}{2} = 1$$
**حد چپ:**
$$\lim_{x \to 2^-} \frac{[x]}{x} = \frac{1}{2} = 0.5$$
چون حد چپ و راست برابر نیستند، حد کلی در نقطه 2 **وجود ندارد**.
**ب) $\lim_{x \to 1^+} \frac{[x] - 3}{x}$:**
در این بخش فقط حد راست خواسته شده است.
وقتی $x \to 1^+$، مقدار جزء صحیح $[x]$ دقیقاً برابر 1 میشود.
حالا عدد را جایگذاری میکنیم:
$$\frac{1 - 3}{1} = \frac{-2}{1} = -2$$
حاصل حد برابر **$-2$** است.
**نکته آموزشی:**
همیشه قبل از محاسبه حد کسر، ابتدا تکلیف جزء صحیح را با توجه به جهت حد (مثبت یا منفی) مشخص کنید.
